Numerikus Pénzügyek I. ZH feladatok

A jegyzetről

A jegyzetben megtalálhatóak a 2021/2022-es tanév 2.félévében lévő negyedéves ZH-ra való felkészülést segítő feladatok (+megoldásuk), a negyedéves ZH (+megoldása), valamint a félév végi ZH-ra a gyakorló feladatok (szintén megoldással).

Vásárlás (500 Ft)

Név

Numerikus Pénzügyek I. ZH feladatok

Típus

Felsőoktatás

Tantárgy

Numerikus pénzügyek i.

Tanterület

Pénzügy

Kurzus

Numerikus pénzügyek i.

Év

2022

Szak

Gazdaság- és pénzügy-matematikai elemzés

Intézmény

Budapesti Corvinus Egyetem

1 letöltés

Szerző

nightfallwish

Létrehozva

2022-10-02

Oldalak száma

Jelentem

Negyedéves konzultáció A konzultáció a 2021/22-es tanév Numerikus Pénzügyek első zárthelyi dolgozatához kiadott kérdéseit tartalmazzák. A feladatokat témakörönként csoportosítottam. Mindenkinek sikeres zh-zást! Feleződés, duplázódás 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Mi az e -t folyamat feleződési ideje? 1 1 𝑒 −𝑡 = 2 ln 𝑒 −𝑡 = ln 2 1 𝑡 = − ln 2 ≈ 0,6931 Mennyi idő alatt harmadolódik az e -t folyamat? 1 1 1 𝑒 −𝑡 = 3 ln 𝑒 −𝑡 = ln 3 𝑡 = − ln 3 ≈ 1,0986 Mennyi idő alatt négyszereződik az e 0.06931t folyamat? 𝑙𝑛4 𝑒 0,06931𝑡 = 4 ln 𝑒 0,06931𝑡 = ln 4 𝑡 = 0,06931 ≈ 20,0014 Mennyi idő alatt háromszorozódik az e 1.0986t folyamat? 𝑙𝑛3 𝑒 1,0986𝑡 = 3 ln 𝑒 1,0986𝑡 = ln 3 𝑡 = 1,0986 ≈ 1,0000, időegység alatt Mennyi idő alatt éri el a fertőzöttek száma az 1,200,000-et, ha jelenleg 400 fertőzött van, és két nap alatt háromszorozódik meg a betege száma? 400 ∗ 3𝑡 = 1 200 000 => 𝑡 = log 3 3000 => 14,6 𝑛𝑎𝑝 És a 400 ezret? 𝑎2 = 3 𝑎 = 1,732 𝑎𝑘 = 1000 𝑘 = 12,6 𝑛𝑎𝑝 Mennyi lesz a fertőzöttek száma 2 hét múlva, ha jelenleg 400 fertőzött van, és két nap alatt háromszorozódik meg a betege száma? 37 = 2187 Az effektív kamatláb évi 19%. Az Ön adóssága kamatos kamatozású. Mennyi a duplázódási idő? (Egy tizedesre kerekítve.) A számolás módját is írja le! 1 ∗ (1 + 0,19)𝑛 = 2 => 𝑛 = log1,19 2 => 𝑛 = 4,0 Az effektív kamatláb évi 15%. Az Ön adóssága kamatos kamatozású. Mennyi a duplázódási idő? (Egy tizedesre kerekítve.) A számolás módját is írja le! 1 ∗ (1 + 0,15)𝑛 = 2 => 𝑛 = log1,15 2 => 𝑛 = 5,0 Cash Flow 9. Legyen a beruházási kiadások vektora b=[100, 200, 300] és az eszközök élettartama M=4 év. Írja fel az amortizáció vektorát! Hány elemű? 1 2 3 4 5 6 100 200 300 25 25 25 25 50 50 50 50 75 75 75 75 25 75 150 150 125 75 [25, 75, 150, 150, 125, 75], 6 elemű 10. Legyen a beruházási kiadások vektora amortizáció vektorát! Hány elemű? 1 2 100 200 20 20 40 20 60 [20, 60, 60, 60, 60, 40], 6 elemű b=[100, 200] és az eszközök élettartama M=5 év. Írja fel az 3 4 5 6 20 40 60 20 40 60 20 40 60 40 40 11. Írja fel egy n=3 éves V=10,000 névértékű, lejáratkor egy összegben törlesztő kötvény pénzáramlását, ha a névleges kamatláb 6% ! t CF 1 csak kamatot fizet 10 000 ∗ 0,06 = 600 2 csak kamatot fizet 10 000 ∗ 0,06 = 600 3 (lejárat) 10 000 + 10 000 ∗ 0,06 = 10 600 A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu Matematika 12. Milyen eloszlást követnek a napi loghozamok, ha az árfolyam lognormális eloszlású? Válaszát indokolja! Normális eloszlást. (Ha az árfolyam normális eloszlású lenne, akkor a napi loghozamok lognormális eloszlást követnének.) 13. Írja fel a Fibonacci - sorozat képletét (kezdeti feltételeket is)! 𝑥1 = 1 𝑥2 = 1 𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−2 14. V0=10 e forinttal elkezd fej/írást játszani 1 ezer forintos alapon. Hányféleképpen fordulhat elő, hogy 4 forduló után pont 10 ezer forintja legyen? 6 féleképp 6 3 Mi ennek a valószínűsége? 4 = 2 8 1 Hogy 8 ezer? 4 𝑖𝑙𝑙 4 Hogy 9 ezer? 0 15. V0=1500 forinttal elkezd fej/írást játszani 100 forintos alapon. Hányféleképpen fordulhat elő, hogy 4 forduló után pont 1300 forintja legyen? Mi ennek a valószínűsége? 4 féleképpen 4 1 = 4 2 4 16. Mik a Bernoulli-eloszlásnál a lehetséges kimenetek és ezek valószínűségei? 𝑘 = 0, 1 Pr(𝑘 = 1) = 𝑝 Pr(𝑘 = 0) = 1 − 𝑝 17. Ha minden lépésben u-szorosára nő a befektetésünk értéke p valószínűséggel, vagy d-szeresére változik egyébként, akkor milyen eloszlású a befektetési együttható? Hogyan definiáljuk ezt az eloszlást? Logbinomiális: az az eloszlás, melynek logaritmusa binomiális. (BKF 52.o.) 18. Az előző feladatban legyen u=1.5 és d=0.8, n=20. Legalább hányszor kell nyernünk, hogy ne veszítsünk? 1,5 𝑘 1 𝑢𝑘 ∗ 𝑑 𝑛−𝑘 ≥ 1 => 1,5𝑘 ∗ 0,820−𝑘 ≥ 1 => 0,820 ∗ ( ) ≥ 1 => 𝑘 = log1,875 ( 20 ) ≈ 7,1 0,8 0,8 ( ) ( ) 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙á𝑏𝑏 8𝑥 𝑘𝑒𝑙𝑙 𝑛𝑦𝑒𝑟𝑛𝑖 𝐼𝐶 7 = 0,94, 𝐼𝐶 8 = 1,76 Statisztika: 19. Töltse ki a táblázat hiányzó részeit! Változó Centrált (𝒀) (𝑠)Szórás −4 + 2 + 4 + 10 =3 4 √ (−4−3)2 +(2−3)2 +(4−3)2 +(10−3)2 4 Sztenderd 𝒀−𝒎 ( ) 𝒔 1,4 −0,2 0,2 1,4 5 1 1 (𝒀 − 𝒎) -4 2 4 10 (𝑚)Átlag −7 −1 1 7 Normált 𝒀 ( ) 𝒔 −0,8 0,4 0,8 2 =5 0 0,6 0 A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu 20. Adott az alábbi kovariancia mátrix, mennyi a két változó szórása és korrelációs együtthatója COV 25 = 𝑉𝐴𝑅11 12 = 𝐶𝑂𝑉12 12 = 𝐶𝑂𝑉21 36 = 𝑉𝐴𝑅22 𝑠1 √𝑉𝐴𝑅11 = 5 𝑠2 √𝑉𝐴𝑅22 = 6 corr 𝜌12 = 𝐶𝑂𝑉12 (=𝐶𝑂𝑉21 ) 𝑠1∗𝑠2 = 0,4 a) Mennyi az előző feladatban a második részvény hozamának az első részvény hozamára vonatkozó 𝐶𝑂𝑉 𝑠 regresszióban a béta együttható? 𝑏 = 𝐶𝑂𝑉12 = 𝜌12 ∗ 𝑠2 = 0,48 11 1 21. Két részvény korrelációs együtthatója 0.4, hozamuk szórása 20% ill. 30%. Írja fel a kovariancia mátrixot ! corr 𝑠1 𝑠2 20% 30% 0,4 COV 𝐶𝑂𝑉21 𝑉𝐴𝑅11 = 0,22 = 0,04 = 𝜌12 ∗ 𝑠1 ∗ 𝑠2 = 0,4 ∗ 0,2 ∗ 0,3 = 0,024 𝐶𝑂𝑉12 = 𝜌12 ∗ 𝑠1 ∗ 𝑠2 = 0,024 𝑉𝐴𝑅22 = 0,32 = 0,09 b.) Mennyi az előző feladatban a második részvény hozamának az első részvény hozamára vonatkozó 𝐶𝑂𝑉12 0,024 𝐶𝑂𝑉 0,024 regresszióban a béta együttható? 𝑏 = = 0,04 = 0,6 (𝑏 = 𝐶𝑂𝑉12 = 0,09 = 0,27) 𝐶𝑂𝑉 11 22 c.) Az előző feladatban az első részvény átlagos hozama 10%, a másodiké 15%. Mennyi a regresszió alfa együtthatója? 15% − 0,6 ∗ 10% = 9% Fák 22. Hányszoros különbség van az n=20 elemű u=1,25 d=0,7 sorozat két különbőz kimenetelhez tartozó IC-jében, ha az eltérés „csak” annyi, hogy az utolsó fordulóban nem veszítünk, hanem nyerünk? 𝑢 = 1,875, tehát 87,5%-os különbség van a két kimenet között 𝑑 (22,5. Mennyit érdemes kockáztatni a Kelly kritérium alapján, ha 𝑝 = 0,7? 40%) 23. Írja fel a Pascal háromszög n: 0 - 4 sorait! Mennyi a sorok összege? 2𝑛 Mennyi a sorok összege váltakozó előjellel? 0 Pascal háromszög összeg Pascal háromszög 1 1 20 +1 1 1 1 2 2 -1 +1 2 1 2 1 4 2 -1 +2 -1 1 3 3 1 8 23 +1 -3 +3 -1 4 1 4 6 4 1 16 2 +1 -4 +6 -4 +1 𝑛 Általánosan Általánosan 2 összeg 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Definíciók 24. Melyik a legegyszerűbb pénzügy termék? Miért? A diszkontkincstárjegy (DKJ (EK)), mert egyszer fizet, tudjuk mikor és mennyit. 25. Mit jelent a vállalat mérlegének az alábbi összefüggése: A = E + D (BKF 187.o.) A: eszközök, E: részvényesek tulajdona (saját tőke), D: adósság (hitelezők vagyona), kötelezettség 26. Írja fel az a és b számok számtani, mértani, négyzetes és harmonikus átlagának képletét! Mi a nagyságrendi viszony közöttük? (hímsün) a és b esetén Általános képlet 𝑎+𝑏 Számtani átlag 2 Mértani átlag Négyzetes átlag Harmonikus átlag √ √𝑎 ∗ 𝑏 𝑎2 +𝑏2 2 1 1 1 + 𝑎 𝑏 2 𝑚= 𝑚𝑔 = ∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛 √∏𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛 2 ∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑚𝑛 = √ 𝑚ℎ = 𝐻𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑘𝑢𝑠 ≤ 𝑀é𝑟𝑡𝑎𝑛𝑖 ≤ 𝑆𝑧á𝑚𝑡𝑎𝑛𝑖 ≤ 𝑁é𝑔𝑦𝑧𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑛 1 ∑𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑛 A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu 27. Mi a kovariancia? Centrált változók szorzatának várható értéke (számtani átlaga) 28. Hogyan célszerű számítani a kovarianciát? Egészítse a mondat hiányzó részeit: Kovariancia: a szorzat várható értéke mínusz a várható értékek szorzata. 29. Mi az ODE és a PDE, mi a különbség közöttük? ODE: közönséges differenciálegyenlet – az ismeretlen függvény egyváltozós PDE: parciális differenciálegyenlet – az ismeretlen függvény többváltozós 30. Mi a nagyobb: a hozam várható értéke, vagy a várható árfolyamhoz tartozó hozam? Válaszát indokolja! A várható árfolyamhoz tartozó hozam nagyobb, mint a hozam várható értéke a logaritmus függvény konkáv jellege miatt a várható érték logaritmusa nagyobb, mint a logaritmusok várható értéke. VBA: Algoritmusok 31. Mit csinál az alábbi eljárás? Mi a számszerű végeredmény, ha a* = [2, 4, 11, -5, 8] kumulál [2, 6, 17, 12, 20] b(1) = a(1) For i = 2 To n b(i) = b(i-1) + a(i) Next i 32. Mit csinál az alábbi eljárás? Mi a számszerű végeredmény, ha az input: a* = [1, 3, 4, 2], output a b ? b = a(1) For i = 2 To n If a(i) > b Then b = a(i) Next i A vektor legnagyobb eleme 4 33. Mit csinál az alábbi eljárás? Mi a számszerű végeredmény, ha az input: a* = [1, 2, 3, 4, 5] és az output a k? A vektor legnagyobb elemének helye 5 k=1 For i = 2 To n If a(i) > a(k) Then k = i Next i 34. Mit csinál az alábbi eljárás? Mi a számszerű végeredmény, ha az input: a*= [1, 3, 6, 2, 4], c=3 és az output a k? k = 0: For i = 1 To n If a(i) > c Then k = k + 1 Next i Leszámlál: az a vektornak hány nagyobb eleme van, mint c szám 2 35. Mit csinál az alábbi függvény? Mi a számszerű végeredmény? Function ff() n=5 s = 0: For i = 1 To n Step 2 s = s + i^2 Next i ff = s End function kiszámítja az 1 és n között lévő páratlan számok négyzetösszegét: 1 + 9 + 25 = 35 36. Mit csinál az alábbi függvény? Mi a számszerű végeredmény? Function f() n=7 s = 0: For i = 2 To n Step 2 s = s + i^2 Next i ff = s End function kiszámítja az 1 és n között lévő páros számok négyzetösszegét: 22 + 42 + 62 = 56 37. Készítsen VB szubrutint, amely kiírja az első oszlopba az első 7 páratlan, a második oszlopba az első hét páros számot egy adott cellából beolvasott értéktől kezdődően. A beolvasott érték legyen az első megjelenített szám, attól függően, hogy páros, vagy páratlan szerepeljen valamelyik oszlopban. 38. Írjon VBA függvényt, amely egy vektorból előállítja annak centrált változatát! Function Centralt (a as range) Option Base 1 n = a.Rows.Count s=0 For i=1 to n s = s+a(i) Next i atlag = s / n Redim Centr(n, 1) For i=1 to n Centr(i, 1) = a(i, 1) – atlag Next i Centralt = Centr End Function A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu Tesztkérdések – 0, 1 vagy több helyes válasz lehet. Jelölje egyértelműen! Kifejtős kérdések – röviden, szabadosan válaszoljon a kérdésekre! Számolós feladatok – mutassa be a levezetést is, ne csak az eredményt! Tesztek – CSAK A HIBÁTLAN VÁLASZRA JÁR 2 PONT, KÜLÖNBEN 0 PONT 1. Melyik NEM igaz a befektetési együtthatóra? a. logaritmusa az éves effektív hozam b. logaritmusa az éves loghozam c. használható két részvény időbeli teljesítményének összehasonlítására d. lehet 1-nél kisebb 2. A 3 szigma szabály a. a normális eloszlásra vonatkozik b. tetszőleges eloszlásra vonatkozik c. az egyenletes eloszlásra vonatkozik d. a binomiális eloszlásra vonatkozik 3. A korrelációs együttható a. két centrált változó szorzatának átlagos értéke b. két normált változó szorzatának átlagos értéke c. két sztenderdizált változó szorzatának átlagos értéke d. abszolút értéke nem lehet 1-nél nagyobb 4. Melyik igaz a technikai elemzésre? a. a részvényeket kibocsátó vállalatok teljesítménye (pl. piacméret, profit) árfolyam-előrejelzését b. felteszi, hogy a piac nem hatékony c. múltbeli árfolyamokból nyert információk alapján próbál kereskedési stratégiát alkotni d. ha a piac legalább gyengén hatékony, akkor technikai elemzéssel nem lehet tartósan profitot szerezni 5. Egy részvény karakterisztikus egyenesének meredeksége a. a részvény béta mutatója b. minél nagyobb, annál kockázatosabb a részvény c. nem lehet 1-nél kisebb d. a részvény és az index korrelációs együtthatója Kifejtős kérdések 6. Mit mutat meg a kamategyüttható? Mi a kamategyüttható és a befektetési együttható viszonya? Mi a kamategyüttható és a diszkonttényező viszonya? a. a kamategyüttható megmutatja, hányszorosára nő a betét értéke az adott időszak alatt b. a kamategyüttható egy speciális előre rögzített befektetési együttható 1 c. 𝐷𝐹 = 𝐼𝐶 7. Mi a hozamgörbe? a. a kamatlábak sorozata a futamidő függvényében 8. Definiálja az alábbi fogalmakat! a. elemi esemény: a kísérlet valamely lehetséges konkrét kimenetele b. eseménytér: az elemi események összessége c. esemény: az eseménytér valamely részhalmaza 9. Sorolja fel a sűrűségfüggvény három tulajdonságát! a. 𝑓 (𝑥 ) ≥ 0 ∞ b. ∫−∞ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 = 1 𝑏 c. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 10. Sorolja fel az eloszlásfüggvény három tulajdonságát! a. 0 ≤ 𝐹 (𝑥 ) ≤ 1 b. lim 𝐹(𝑥) = 0 𝑥→−∞ A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu c. lim 𝐹(𝑥) = 1 𝑥→∞ d. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎) 11. Mi a Monte-Carlo szimuláció lényege? a. egy kísérletet elég sokszor elvégezve minden határon túl lehet közelíteni valaminek a számszerű értékét (pl. valószínűségét, integrál értékét) 12. Mit mond a Grossman-Stiglitz paradoxon? a. Ha a piac hatékony, akkor nincs értelme elemzéssel foglalkozni. Ha senki nem elemez, akkor mitől hatékony a piac? 13. Mit jelent a piac közepes hatékonysága? Mi a következménye annak, ha a piac közepesen hatékony? a. A nyilvános információk tükröződnek az árfolyamokban (2p) b. Következmény: sem technikai, sem fundamentális elemzéssel nem lehet profitot szerezni. 14. A részvény karakterisztikus egyenese milyen optimalizációs probléma megoldásából adódik? a. A piac hozama (X tengely) – részvény hozama (Y tengely) térbe olyan egyenest szerkeszteni, amelyiknek a hozampár-pontoktól vett négyzetes távolsága a legkiseb. 15. Írja le a korrelációs mátrix 3 tulajdonságát! a. főátlójában 1-esek vannak b. a többi érték -1 és 1 között c. szimmetrikus 16. Egy részvény árfolyama az alábbi táblázat szerint alakult. időpont árfolyam 2020.12.31. 250 2021.06.30. 300 280 a. Mekkora a befektetési együttható? 𝐼𝐶 = 250 = 1,12 2021.12.31. 280 300 280 b. Igazolja (számszerűen), hogy a bázisindex a láncindexek szorzata! 1,12 = 250 ∗ 300 c. Mekkora az éves effektív hozam? 𝑟𝑒𝑓𝑓 = 1,12 − 1 = 12% d. Mekkora az éves loghozam? 𝑟𝑙𝑜𝑔 = ln(1,12) = 11,33% 17. Egy bank 8% éves effektív hozamot fizet a betétre. Egy ügyfél 330 petákot tesz a bankba. a. Hány év múlva lesz a betét értéke 400 peták? 𝑇 = 400 400 ) 330 ln( ln(1,08) = 2,50 b. Mekkora a lejáratkor a kamategyüttható? 𝐼𝐶 = 330 = 1,2121 c. Mekkora a lejáratkor a kamattömeg? ln(1,2121) = 0,1924 18. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó részeit! (két tizedesjegy pontossággal adja meg az értékeket)! átlag szórás változó -3 -2 1 6 0,5 3,5 centrálás -3,5 -2,5 0,5 5,5 0 3,5 normálás -0,86 -0,57 0,29 1,71 0,14 1 sztenderdizálás -0 -0,71 0,14 1,57 0 1 19. Mit csinál az alábbi függvény? Mi lesz az előjele? Válaszát indokolja! Function zh(x) n=x.Count s=0 ss=0 For i=1 To n s=s+x(i)/n ss=ss+Log(x(i)) Next i s=Log(s) A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu ss=ss/n zh=s-ss End Function a. Kiszámolja az átlag logaritmusa (1p) és a logaritmus átlaga (1p) közötti különbséget (1). Előjele pozitív (2p), mert az átlag logaritmusa mindig nagyobb, mint a logaritmusok átlaga (1p). 20. Az alábbi táblázat az 𝑋~𝑁(5%, 10%) változó eloszlásfüggvényének értékeit mutatja. Számolja ki az alábbi valószínűségeket! 𝑥 -25% -20% -15% -10% -5% 𝐹(𝑥) 0,00 13 0,00 62 0,02 28 0,06 64 0,15 87 0% 0,30 85 5 % 0, 5 10% 15% 20% 25% 30% 35% 0,69 15 0,84 13 0,91 32 0,97 72 0,98 38 0,99 87 a. Pr(𝑋 ≤ 25%) = 0,9772 b. Pr(𝑋 > −5%) = 1 − 0,1587 = 0,8413 c. Pr(5% < 𝑋 ≤ 15%) = 0,8413 − 0,5 = 0,3413 21. Egy kockával 3-szor egymás után dobunk. Hányféleképpen fordulhat elő, hogy 13-at dobunk? Mekkora ennek a valószínűsége? a. útvonalak száma: 21 21 b. valószínűség: 63 = 0,0972 22. Egy részvény napi loghozamának átlaga 1%, a loghozam szórása 2%. Mekkora egy tőzsdei hét (=5 nap) várható loghozama és szórása? a. 𝜌5 𝑛𝑎𝑝 = 5 ∗ 1% = 5% ∗ 𝜎5 𝑛𝑎𝑝 = √5 ∗ 2% = 4,47 23. Az X és az Y részvényekre 4 megfigyelésből a centrált hozamokat tartalmazza az alábbi táblázat. Számolja ki a kovarianciamátrixot! 𝑿 2% −2% 1% −1% 𝒀 −1% 2% 0% −1% ∑ ∑/3 a. Így a kovarianciamátrix: X 0,000333 -0,000167 X Y 𝑿𝟐 4 4 1 1 10 3,33 𝒀𝟐 1 4 0 1 6 2 𝑿𝒀 −2 −4 0 1 −5 −1,67 Y -0,000167 0,000200 Azért 3-mal osztunk, mert a mintaelemszám 4. Pontozás: X varianciája 2p, Y varianciája 2p, kovariancia 2p. Ha valaki 4-gyel oszt, de egyébként jól számol, 2 pont levonás. 24. Egy részvény és a tőzsdeindex adatai a következők: Írja fel a részvény karakterisztikus egyenesét! INDEX RÉSZVÉNY a. 𝛽 = 0,4 0,25 átlagos hozam 4% 5% kov mátrix INDEX RÉSZVÉNY INDEX 0,25 0,4 RÉSZVÉNY 0,4 0,36 = 1,6 és 𝛼 = 5% − 1,6 ∗ 4% = −1,4% így a karakterisztikus egyenes: 𝑟𝑅É𝑆𝑍𝑉É𝑁𝑌 = −1,4% + 1,6 ∗ 𝑟𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋 25. Legyen X változó szórása 10, Y változó szórása 20. Legyen 𝑍 = 𝑤𝑋 + (1 − 𝑤)𝑌, ahol 0 ≤ 𝑤 ≤ 1. Adott 𝑤 mellett milyen értékek között lehet 𝑍 szórása? a. Ha 𝑤 adott, akkor 𝑍 szórása az 𝑋 és 𝑌 közötti korrelációs együtthatótól függ. Akkor maximális, ha 𝜌𝑋𝑌 = 1, akkor minimális, ha 𝜌𝑋𝑌 = −1. A két szélsőérték: A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu 1. Az alábbi táblázat alapján válaszoljon a kérdésekre! 𝐼𝐶 = 𝑒 𝑟𝑙𝑜𝑔 évek 0 1 2 3 4 loghozam 5% 4% 3% 4% árfolyam 100 1) Mekkora a 4. év végén az árfolyam? 𝑆4 = 100 ∗ 𝑒 5%+4%+3%+4% = 𝑒 0,16 = 117,35 2) Mekkora a befektetési együttható? 𝐼𝐶 = 117,35 100 = 1,1735 3) Mekkora a kamattömeg? 𝑌 = 5% + 4% + 3% + 4% = 16% 𝑌 4) Mekkora az éves átlagos loghozam? = 4% = 𝑟̅𝑙𝑜𝑔 4 5) Mekkora az éves átlagos effektív hozam? 1 + 𝑟𝑒𝑓𝑓 = 𝑒 𝑟̅𝑙𝑜𝑔 , tehát 𝑟𝑒𝑓𝑓 = 4,08% 2. Az 𝑋 valószínűségi változóra Pr(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 0,6. 𝑋 sűrűségfüggvénye 𝑓. Tudjuk, hogy 𝑓 (𝑥 ) = 𝑐 ∀𝑥 ∈ [1,3]. Mekkora 𝑐? /:2 1) Pr(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 0,6 ⇒ 𝑐 = 0,3 3. Tekintsük az 𝑁 = 2 periódusos binomiális modellt a következő paraméterekkel: 𝑝𝑈 = 0,52; 𝑢 = 1,25; 𝑆0 = 200. 1) Adja meg az árfolyam valószínűségeloszlását lejáratkor! 𝒓𝒍𝒐𝒈 árf. valószínűség 312,5 312,5 1 ∗ 0,52 ∗ 0,52 ln 200 250 200 200 200 2 ∗ 0,52 ∗ 0,48 ln =0 200 160 128 128 1 ∗ 0,48 ∗ 0,48 ln 200 2) Mekkora a loghozam várható értéke? 𝐸 (𝑟) = 0,522 ∗ ln 312,5 200 128 + 0,482 ∗ ln 200 = 0,0179 3) Mekkora az árfolyam várható értéke? 𝐸 (𝑠) = 0,522 ∗ 312,5 + 2 ∗ 0,52 ∗ 0,48 ∗ 200 + 0,482 ∗ 128 = 213,8312 4) Mekkora a várható árfolyamhoz tartozó loghozam? ln 213,8312 200 = 0,0668 4. Egy most végzett egyetemistának a diákhitel tartozása 4.000.000 forint. A diákhitel kamatlába évente 4%, amit az év elején fennálló adósságra kell megfizetni. Az adós évente fix 200.000 forintot törleszt először pontosan 1 év múlva, majd évente. 1) Írja fel a hitelállomány változását leíró differencia egyenletet! ℎ𝑡 − 𝑡𝑡−1 = 0,04 ∗ ℎ𝑡−1 − 200 000 2) Mi az ismeretlen az egyenletben? ℎ𝑡 függvény 3) Mi az egyenlet megoldása? ℎ𝑡 = 1,04(1,04 ∗ ℎ𝑡−2 − 200 000) − 200 000 = 1,04𝑡 ℎ0 − 200 000(1,040 + ⋯ + 1,04𝑡−1 ) 1,04𝑡 − 1 = 1,04𝑡 ℎ0 − 200 000 = 1,04𝑡 ℎ0 − 5 𝑀 (1,04𝑡 − 1) = 1,04𝑡 (ℎ0 − 5 000 000) 1,04 − 1 ebből ℎ𝑡 = 5 000 000 − 1 000 000 ∗ 1,04𝑡 4) Hány év múlva csökken a tartozás nullára? 0 = 1,04𝑡 ∗ (4 000 000 − 5 000 000) + 5 000 000, amiből 1,04𝑡 = 5, tehát ln 5 𝑡 = log1,04 5 = = 41,04 é𝑣 ln 1,04 A 42.év végére törleszti minden hitelét. A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu 5. folytonos kereskedés Egy tőzsdei részvény ajánlati könyvét látja: Döntse el, hogy a beérkező ajánlatok hogyan hatnak az ajánlati könyvre és a részvény piaci árfolyamára! (Az ajánlatok időben követik egymást.) 1) Limitáras eladási ajánlat érkezik: 80 darab, 1403-as árfolyam. eladási oldal tetejére 80 db 1403 áron 2) Limitáras vételi ajánlat érkezik: 100 darab, 1403-as árfolyam. tranzakció 80 db 1403 áron vételi oldal tetejére 20 db 1403 áron 3) Limitáras vételi ajánlat érkezik: 90 darab, 1406-os árfolyam. tranzakció 80 db 1405 áron 4) Piaci áras eladási ajánlat érkezik: 70 darab. tranzakció 20 db 1403 áron (ezekkel csökken a vételi oldal) 50 db 1500 áron 5) Küszöbáras vételi ajánlat érkezik: aktiválási árfolyam 1450, limitár 1480, mennyiség 100 darab. amikor a piaci ár eléri az 1450-et, akkor kerül bele a könyvbe 6) Küszöbáras eladási ajánlat érkezik: aktiválási árfolyam 1350, limitár 1340, mennyiség 80 darab. amikor a piaci ár eléri az 1350-et, akkor kerül bele a könyvbe 6. szakaszos kereskedés Egy ajánlatgyűjtési szakasz végén az ajánlati könyv a következőképpen néz ki: Kumulált Vétel Vétel Árfolyam Eladás Kumulált Eladás Teljesíthető 50 50 1405 70 330 50 150 100 1400 80 260 150 180 30 1390 90 180 180 250 70 1385 40 90 90 290 40 1380 50 50 50 1) Mekkora lesz az árfolyam és mekkora a kereskedett mennyiség? 1390 é𝑠 180 2) Tegyük fel, hogy Önnek lehetősége van egyetlen ajánlat beadására az algoritmus lefutása előtt. Mi legyen ez az ajánlat, ha: a. azt szeretné, hogy a végeredmény a kiszámolt árfolyamnál 10 Forinttal magasabb legyen? vételi oldalra 1400-as áron 31 db-ot b. azt szeretné, hogy a végeredmény a kiszámolt árfolyamnál 10 Forinttal alacsonyabb legyen? eladási oldalra 1380-as áron 251 db-ot 3) Mutassa be az ajánlati könyv felépítését az algoritmus lefutását követően! Vétel Eladás Q P P Q 70 1385 1400 80 40 1380 1405 70 7. Egy befektető 100.000 dollár saját vagyona mellé felvett 400.000 dollár kölcsönt, s az egészet részvénybe fektette. A részvény árfolyama 100. A tőzsdén a minimális letéti követelmény a pozíció értékének 10%-a. 500 000 1) Mekkora a részvény súlya a portfólióban? 𝑤𝑅𝑉 = 100 000 = 5, (𝑤𝐾 = 𝑉 500 000 2) Mekkora a tőkeáttétel? 𝐿 = 𝐸 = 100 000 = 5 −400 000 100 000 = −4) 3) Mekkora a kezdeti letét? 500 000 ∗ 0,1 = 50 000 4) Mekkora a letét értéke 1 nap múlva, ha a részvény árfolyam 2%-ot esik (effektív hozam)? induló: 100 000 1.nap: 𝑅𝑉 = 0,98 ∗ 500 000 = 490 000 𝐾 = −400 000 letét: 𝑅𝑉 − 𝐾 = 𝟗𝟎 𝟎𝟎𝟎 5) Mekkora részvényárfolyamnál jön az első Margin Call? RV 𝜌𝑅𝑉 ∗ 5 000 K −400 000 800 Margin Call, ha 𝜌𝑅𝑉 ∗ 5 000 − 400 000 ≤ 0,1 ∗ 𝜌𝑅𝑉 ∗ 5 000, innen 𝜌𝑅𝑉 = 9 ≈ 88,89 A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu 8. Az X és Y részvények hozamainak valószínűségeloszlását adja meg a következő táblázat. Számolja ki a következőket: 𝒑 20% 30% 30% 20% 1) 2) 3) 4) 5) 𝒓𝑿 15% 10% -10% 10% 𝒓𝒀 10% 5% 5% 0% 𝒓𝑿 − 𝑬(𝒓𝑿 ) 10 5 -15 5 𝒓𝒀 − 𝑬(𝒓𝒀) 5 0 0 -5 𝜇𝑋 = 𝐸 (𝑟𝑋 ) = 0,2 ∗ 15 + 0,3 ∗ 10 + 0,3 ∗ (−10) + 0,2 ∗ 10 = 5 𝜇𝑌 = 𝐸 (𝑟𝑌 ) = 0,2 ∗ 10 + 0,3 ∗ 5 + 0,3 ∗ 5 + 0,2 ∗ 0 = 5 𝜎𝑋2 = 0,2 ∗ 102 + 0,3 ∗ 52 + 0,3 ∗ (−15)2 + 0,2 ∗ 52 = 100%2 = 0,01 𝜎𝑌2 = 0,2 ∗ 52 + 0,3 ∗ 02 + 0,3 ∗ 02 + 0,2 ∗ (−5)2 = 10%2 = 0,001 𝜎𝑋𝑌 = 𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 0,2 ∗ 10 ∗ 5 + 0,3 ∗ 5 ∗ 0 + 0,3 ∗ (−15) ∗ 0 + 0,2 ∗ 5 ∗ (−5) = 0,0005 6) 𝜌𝑋𝑌 = 0,0005 √0,01∗√0,001 = 0,1581 9. Az X és Y részvényről a következőket tudjuk: 𝜇𝑋 = 20%, 𝜇𝑌 = 10%, 𝜎𝑋 = 40%, 𝜎𝑌 = 15%, 𝜌𝑋𝑌 = 0,375 A befektető hasznossági függvénye: 𝑈(𝜇, 𝜎) = 𝜇 − 0,5𝜎 2 47 273 1) Mekkora lesz az optimális portfólióban X és Y részvények súlya? 𝑋 súlya: és 𝑌 súlya: 320 320 𝑤 → 𝑋 súlya és (1 − 𝑤) → 𝑌 súlya Portfólió: 𝜇 = 20𝑤 + 10(1 − 𝑤) = 10 + 10𝑤 𝜎 2 = 𝑤 2 402 + 2𝑤 (1 − 𝑤)0,375 ∗ 40 ∗ 15 + (1 − 𝑤)2 152 = = 1600𝑤 2 + 450𝑤 (1 − 𝑤) + 225(1 − 𝑤)2 + 225(1 − 2𝑤 + 𝑤 2 ) 𝑈 = 10 + 10𝑤 − 0,5[1600𝑤 2 + 450𝑤 (1 − 𝑤) + 225(1 − 𝑤)2 + 225(1 − 2𝑤 + 𝑤 2 )] 𝜕𝑈 47 = ⋯ = 235 − 1600w = 0, 𝑡𝑒ℎá𝑡 𝑤 = 𝜕𝑤 320 2) Mekkora ezekkel a súlyokkal a befektető hasznossága? 𝑈 = 3) Írja fel annak a közömbösségi görbének az egyenletét, amelyik átmegy az optimális portfólió! 𝑈 ∗ = 𝜇 − 0,5𝜎 2 , tehát 𝜇 = 𝑈 ∗ + 0,5𝜎 2 10. Ön a szentpétervári paradoxonhoz kapcsolódó játékot játssza: ha elsőre dob írást 2 dollárt, kap, ha másodikra, akkor 4 dollárt, ha harmadikra, akkor 8-at stb. A kaszinó vagyona 1.048.576 dollár, ennél többet nem tud kifizetni nyereményként. Legfeljebb mekkora összeggel száll be a játékba? (A vagyon várható értékének a maximumára törekszik.) kaszinó vagyona 220 = 1 048 576 1 1 1 2 1 20 (2) ∗ 21 + ( ) ∗ 22 + ⋯ + ( ) 2 2 összes többi eset valószínűsége: 20 𝑛 1 [1 − ∑ ( ) ] ∗ 220 = 1 2 ∗ 220 = 20 összesen: 20 + 1 = 21 𝑛=1 11. Egy 100 körből álló Kelly sorozatban a nyerési valószínűsége 0,6. A 100 körben 55-ször nyertek a játékosok, 45-ször vesztettek. A három játékos tétjei a következők voltak 𝑓𝐴 = 0,3, 𝑓𝐵 = 0,4, 𝑓𝐶 = 0,5. 1) Mi lett a sorrend? 𝐴, 𝐵, 𝐶 2) Mi lett volna az optimális tét ex ante, a játék megkezdése előtt? 𝑓 = 2 ∗ 0,6 − 1 = 0,2 55 3) Ha előre tudja a kimenetet, milyen téttel száll be? 100 = 0,55, ahonnan 𝑓 = 2 ∗ 0,55 − 1 = 0,1 A dokumentum bármely részének, bármilyen módszerrel, technikával történő másolása és terjesztése tilos! © www.whyz.hu